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Définition
\(\triangleright\) Définition du rayon de convergence
Soit les Séries entières de la formes \(\sum a_n x^n\).
Le rayon de convergence d'une fonction est la plus grande valeur de \(x\) pour laquelle la série entière converge.
Théorème
\(\triangleright\) Thèorème d'Alembert sur le rayon de convergence
Soit les Séries entières de la formes \(\sum a_n x^n\).
Si \(L={{\underset{n\to\infty}\lim\left|\frac{a_{n+1} }{a_n} \right|}}\in {{\bar {\Bbb R}^+}}\) alors \(R={{\frac 1L}}\)
\(\triangleright\) Théorème d'Hadamard sur le rayon de convergence
Soit les Séries entières de la formes \(\sum a_n x^n\).
Si \(L={{\underset{n\to\infty}\lim |a_n|^{\frac 1n} }}\in {{\bar{\Bbb R}^+}}\) alors \(R={{\frac 1L}}\)
Ou \(L={{\underset{n\to\infty}\lim \sup|a_n|^{\frac 1n} }}\)
Sous-séries
\(\triangleright\) Propriétés du rayon de convergence des sous-séries
Soit \(\sum b_nx^n\) une sous-série de \(\sum a_nx^n\), alors le rayon de convergence \(R_b\geq R_a\)
Somme de séries
\(\triangleright\) Rayon de convergence d'une somme de séries
Soit \(\sum a_nx^n\) et \(\sum b_nx^n\) de rayon de convergence \(R_a\) et \(R_b\).
La série \(\sum (a_n+b_n)x^n\) a pour rayon de convergence au moins \(\min(R_a, R_b)\)
